Calcule a área da região delimitada :
por y=x^2 e y=4-x^2;

Passo 1

Esse exercício pede a área da região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 4 - x^2. O conteúdo é integração definida de funções, e a gente vai precisar achar onde elas se interceptam e depois integrar a diferença entre a função de cima e a de baixo.

Passo 2

Para achar os limites da região, igualamos x^2 = 4 - x^2, o que dá 2x^2 = 4 e, portanto, x = pmraiz2. Entre esses valores, a parábola y = 4 - x^2 fica acima de y = x^2.

Passo 3

Então montamos a integral da diferença entre as funções:
A = integral-raiz2^raiz2l((4 - x^2) - x^2r),dx = integral-raiz2^raiz2(4 - 2x^2),dx
Para integrar, usamos que integral4,dx = 4x e integral2x^2,dx = tfrac2x^33, então a primitiva é
4x - 2x^33 + C

Passo 4

Agora avaliamos essa primitiva nos limites. Em x = raiz2:
4raiz2 - 2(raiz2)^33 = 4raiz2 - 4raiz23 = 8raiz23
Em x = -raiz2:
-4raiz2 + 4raiz23 = -8raiz23
Subtraindo esses valores, a área é
8raiz23 - l(-8raiz23r) = 16raiz23

Resposta

16raiz23

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