Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
f(x)=raiz[3]sen(3 pi x^52)+ln (tg(x))

Passo 1

A questão pede para derivar a função composta
f(x)=√[3]{sen(3πx^5/2)+ln(tg(x))} usando regra da cadeia e regras básicas de derivação. Vamos precisar de: derivada de sen(u), derivada de ln(v), derivada de tg(x) e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=sen\bigl(\tfrac{3\pi x^5}{2}\bigr)+\ln\bigl(\tg(x)\bigr)
Então podemos reescrever
f(x)=[u(x)]^{1/3}.

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de u(x). Note que u(x) é soma de duas funções:
  1. Para a parte sen(3πx^5/2), aplicamos regra da cadeia:
    g(x)=\tfrac{3\pi x^5}{2} ⇒ g’(x)=\tfrac{3\pi}{2}·5x^4=\tfrac{15\pi x^4}{2}
    Então
    d/dx[sen(g(x))]=cos(g(x))·g’(x)=cos\bigl(\tfrac{3\pi x^5}{2}\bigr)·\tfrac{15\pi x^4}{2}.
  2. Para ln(tg(x)), também regra da cadeia:
    d/dx[ln(v)]=v’/v com v=tan(x) e v’=sec^2(x).
    Logo
    d/dx[ln(tg(x))]=\frac{sec^2(x)}{\tan(x)}.
Somando as duas partes:
u’(x)=\tfrac{15\pi x^4}{2}\cos\bigl(\tfrac{3\pi x5}{2}\bigr)+\frac{\sec2(x)}{\tan(x)}.

Passo 4

Por fim, aplicamos a regra da cadeia em f(x)=[u(x)]^{1/3}:
d/dx[f(x)]=\frac{1}{3}[u(x)]^{-2/3}·u’(x).
Substituindo u(x) e u’(x) obtemos a derivada de f: f’(x)=\frac{1}{3(\sin(\tfrac{3\pi x^5}{2})+\ln(\tan x))^{2/3}}\Bigl(\frac{15\pi x^4}{2}\cos(\tfrac{3\pi x5}{2})+\frac{\sec2(x)}{\tan(x)}\Bigr).

Resposta

f'(x)=13l(sin(tfrac3pi x^52)+ln(tan x)r)^2/3l(15pi x^42cosl(tfrac3pi x^52r)+sec^2(x)tan(x)r)

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