Calcular as derivadas das funções compostas. Utilizar a regra da cadeia e as regras de derivação.
Passo 1
A questão pede para derivar a função composta
f(x)=√[3]{sen(3πx^5/2)+ln(tg(x))} usando regra da cadeia e regras básicas de derivação. Vamos precisar de: derivada de sen(u), derivada de ln(v), derivada de tg(x) e regra da cadeia.
f(x)=√[3]{sen(3πx^5/2)+ln(tg(x))} usando regra da cadeia e regras básicas de derivação. Vamos precisar de: derivada de sen(u), derivada de ln(v), derivada de tg(x) e regra da cadeia.
Passo 2
Definimos a função interna
u(x)=sen\bigl(\tfrac{3\pi x^5}{2}\bigr)+\ln\bigl(\tg(x)\bigr)
u(x)=sen\bigl(\tfrac{3\pi x^5}{2}\bigr)+\ln\bigl(\tg(x)\bigr)
Então podemos reescrever
f(x)=[u(x)]^{1/3}.
f(x)=[u(x)]^{1/3}.
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada de u(x). Note que u(x) é soma de duas funções:
-
Para a parte sen(3πx^5/2), aplicamos regra da cadeia:
g(x)=\tfrac{3\pi x^5}{2} ⇒ g’(x)=\tfrac{3\pi}{2}·5x^4=\tfrac{15\pi x^4}{2}
Então
d/dx[sen(g(x))]=cos(g(x))·g’(x)=cos\bigl(\tfrac{3\pi x^5}{2}\bigr)·\tfrac{15\pi x^4}{2}. -
Para ln(tg(x)), também regra da cadeia:
d/dx[ln(v)]=v’/v com v=tan(x) e v’=sec^2(x).
Logo
d/dx[ln(tg(x))]=\frac{sec^2(x)}{\tan(x)}.
Somando as duas partes:
u’(x)=\tfrac{15\pi x^4}{2}\cos\bigl(\tfrac{3\pi x5}{2}\bigr)+\frac{\sec2(x)}{\tan(x)}.
Passo 4
Por fim, aplicamos a regra da cadeia em f(x)=[u(x)]^{1/3}:
d/dx[f(x)]=\frac{1}{3}[u(x)]^{-2/3}·u’(x).
Substituindo u(x) e u’(x) obtemos a derivada de f: f’(x)=\frac{1}{3(\sin(\tfrac{3\pi x^5}{2})+\ln(\tan x))^{2/3}}\Bigl(\frac{15\pi x^4}{2}\cos(\tfrac{3\pi x5}{2})+\frac{\sec2(x)}{\tan(x)}\Bigr).