Calcular as derivadas das funções definidas implicitamente.
Passo 1
O enunciado estabelece uma relação implícita entre as variáveis x e y dada por
. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, que combina as derivadas de funções compostas (regra da cadeia) e logaritmos. Vamos usar: derivada de
é
e derivada de
é
.
Passo 2
Aplicamos a derivada em ambos os lados da igualdade:
No lado esquerdo, usando a regra da cadeia:
Passo 3
No lado direito, derivamos termo a termo. Para
temos
. Para
aplicamos
, logo
Passo 4
Somando esses resultados, a igualdade fica:
Passo 5
Agora vamos isolar
. Primeiro, multiplicamos tudo por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Em seguida, agrupamos todos os termos que contêm
no lado esquerdo:
$$
y’\Bigl[\sec2(y),(x3+y8)-(x3+y8)-8y7\Bigr]=3x^2$$
Passo 7
Por fim, notamos que
. Então o fator em colchetes torna-se
. Isolando
, obtemos a derivada desejada:
Resposta
\displaystyle y’=\frac{3x2}{(x3+y8),\tan2(y)-8y^7}