Calcular as derivadas das funções definidas implicitamente.
tg(y)=y+ln (x^3+y^8)

Passo 1

O enunciado estabelece uma relação implícita entre as variáveis x e y dada por tan(y)=y+lnl(x^3+y^8r). O conteúdo aqui é diferenciação implícita, que combina as derivadas de funções compostas (regra da cadeia) e logaritmos. Vamos usar: derivada de tan(y) é sec^2(y),y' e derivada de ln(u) é u'/u.

Passo 2

Aplicamos a derivada em ambos os lados da igualdade:
ddxl[tan(y)r]=ddxl[y+lnl(x^3+y^8r)r]
No lado esquerdo, usando a regra da cadeia:
ddxl[tan(y)r]=sec^2(y)cdot y'

Passo 3

No lado direito, derivamos termo a termo. Para y temos dfracddx[y]=y'. Para ln(x^3+y^8) aplicamos u=x^3+y^8, logo
ddxl[ln(x^3+y^8)r]=3x^2+8y^7,y'x^3+y^8

Passo 4

Somando esses resultados, a igualdade fica:
sec^2(y),y'=y'+3x^2+8y^7,y'x^3+y^8

Passo 5

Agora vamos isolar y'. Primeiro, multiplicamos tudo por x^3+y^8 para eliminar o denominador:
sec^2(y),y',(x^3+y^8)=y',(x^3+y^8)+3x^2+8y^7,y'

Passo 6

Em seguida, agrupamos todos os termos que contêm y' no lado esquerdo:
$$
y’\Bigl[\sec2(y),(x3+y8)-(x3+y8)-8y7\Bigr]=3x^2$$

Passo 7

Por fim, notamos que sec^2(y)-1=tan^2(y). Então o fator em colchetes torna-se (x^3+y^8)tan^2(y)-8y^7. Isolando y', obtemos a derivada desejada:

Resposta

\displaystyle y’=\frac{3x2}{(x3+y8),\tan2(y)-8y^7}

Exercícios relacionados