Calcular as derivadas das funções definidas implicitamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
quando
e
satisfazem implicitamente
. O conteúdo principal é diferenciação implícita, e vamos precisar do produto, da cadeia e da derivada de exponencial.
Passo 2
Primeiro, derivamos ambos os lados em relação a
. Para cada termo usamos: o produto
’ = u’v + uv’ e a cadeia para
, além da regra da exponencial
. Assim,
Tornando-se
$$
7x^6 + \bigl(15x^4y + 3x^5y’\bigr) + 6y^5y’ = 9^x\ln 9.
$$
Passo 3
Agora agrupamos os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Passo 4
Por fim, fatoramos
e isolamos: