Calcular as derivadas das funções definidas implicitamente.
x^7+3 x^5 y+y^6=9^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular y' = dydx quando x e y satisfazem implicitamente x^7 + 3x^5y + y^6 = 9^x. O conteúdo principal é diferenciação implícita, e vamos precisar do produto, da cadeia e da derivada de exponencial.

Passo 2

Primeiro, derivamos ambos os lados em relação a x. Para cada termo usamos: o produto uv’ = u’v + uv’ e a cadeia para y^6, além da regra da exponencial ddx9^x = 9^xln 9. Assim,
ddx(x^7) + ddx(3x^5y) + ddx(y^6) = ddx(9^x)
Tornando-se
$$
7x^6 + \bigl(15x^4y + 3x^5y’\bigr) + 6y^5y’ = 9^x\ln 9.
$$

Passo 3

Agora agrupamos os termos que contêm y' de um lado e os demais do outro:
3x^5y' + 6y^5y' = 9^xln 9 - 7x^6 - 15x^4y

Passo 4

Por fim, fatoramos y' e isolamos:
y'(3x^5 + 6y^5) = 9^xln 9 - 7x^6 - 15x^4y

Resposta

y' = 9^xln 9 - 7x^6 - 15x^4y3x^5 + 6y^5

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