Calcular as derivadas das funções definidas implicitamente.
raiz[3]y^2=5 x+sen(y)

Passo 1

A equação está dada implicitamente por raiz[3]y^2 = 5x + sin(y). O conteúdo é derivada implícita e vamos usar regra da cadeia para diferenciar ambos os lados e depois isolar y'.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x: no lado esquerdo temos
ddxl(y^2r)^1/3 = 13(y^2)^-2/3 cdot 2y,y' = 2y,y'3(y^2)^2/3
e no lado direito:
ddxl(5x + sin(y)r) = 5 + cos(y),y'

Passo 3

Agora igualamos as duas expressões:
2y,y'3(y^2)^2/3 = 5 + cos(y),y'

Passo 4

Colocando os termos que contêm y' de um lado:
2y,y'3(y^2)^2/3 - cos(y),y' = 5

Passo 5

Fatorando y':
y'l(2y3(y^2)^2/3 - cos(y)r) = 5

Passo 6

Observando que (y^2)^2/3=y^4/3, temos tfrac2y3y^4/3=tfrac23y^1/3. Então
y' = 5tfrac23y^1/3 - cos(y)

Passo 7

Multiplicando numerador e denominador por 3y^1/3 para simplificar:
y' = 15,y^1/32 - 3y^1/3cos(y)

Resposta

y' = 15,y^1/32 - 3y^1/3cos(y)

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