Calcule a área da região delimitada :
por y=raizx, y=4 e o eixo y;

Passo 1

A questão pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas y=raizx, pela reta horizontal y=4 e pelo eixo y. Vamos usar cálculo de integrais definidas para área plana. Precisamos esboçar a região, identificar os limites de integração e aplicar a fórmula da área como integral de diferença entre as fronteiras.

Passo 2

Primeiro esboçamos a curva y=raizx, que ao inverter dá x=y^2. A reta y=4 intercepta essa curva em x=16. O eixo y é a reta x=0. Assim, em cada altura y entre 0 e 4, a região vai de x=0 até x=y^2.

Passo 3

Para facilitar, integramos em relação a y. Em cada fatia horizontal, a largura do elemento de área é xdireita-xesquerda=y^2-0. Portanto a área é
A=integral0^4l(y^2-0r),dy

Passo 4

Calculamos a integral. A antiderivada de y^2 é y^3/3. Avaliando de 0 a 4 obtemos
A=[y^33]0^4=4^33-0=643

Resposta

\frac{64}{3}

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