Calcular as derivadas das funções definidas implicitamente.
2 x-4 x y^5 cdot raizy=sec (cos (e^y))

Passo 1

Temos a equação implícita
$$
2x - 4x y^5 \cdot \sqrt{y} = \sec\bigl(\cos(e^y))$$
O conteúdo aqui é derivada implícita, e vamos precisar da regra do produto e da regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro vamos derivar o lado esquerdo em relação a x. Note que

Aplicando a derivada de 4x y^5 cdot raizy = 4x y^11/2 e a regra do produto em 2x:
$$
\frac{d}{dx}(2x) = 2,
$$
Logo,

Passo 3

Agora derivamos o lado direito sec(cos(e^y)). Seja u=cos(e^y). Então
ddxsec(u) = sec(u)tan(u),u'
e
Assim,

Passo 4

Igualando as derivadas LHS’ e RHS’ e isolando y':
2 - l(4y^11/2 + 22x y^9/2y'r) = -sec(cos(e^y))tan(cos(e^y))sin(e^y)e^y y'
Reagrupando termos com y':
-22x y^9/2y' + sec(cos(e^y))tan(cos(e^y))sin(e^y)e^y y' = -2 + 4y^11/2
Extraindo y':

Passo 5

Então a derivada implícita fica:

Passo 6

Exercícios relacionados