Calcule a área da região R limitada pelas curvas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região $ R $ que está limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 9 $. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de integrais, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas expressões de $ y $:
Resolvendo essa equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos $ x = 3 $ e $ x = -3 $.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos visualizar a região $ R $. A curva $ y = x^{2} $ é uma parábola que abre para cima, e $ y = 9 $ é uma linha horizontal. A área que queremos é entre essas duas curvas, desde $ x = -3 $ até $ x = 3 $.
Para calcular essa área, usamos a integral definida da diferença entre as duas funções nos limites de integração. A fórmula geral para a área $ A $ entre duas curvas $ y = f(x) $ e $ y = g(x) $ de $ x = a $ até $ x = b $ é:
Passo 4
Aplicando isso ao nosso problema, onde $ f(x) = 9 $ e $ g(x) = x^{2} $, e os limites são de $ -3 $ a $ 3 $, temos:
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo.
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Onde $ C $ é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de $ -3 $ e $ 3 $:
Passo 5
Vamos calcular para $ x = 3 $:
E para $ x = -3 $:
Agora, subtraímos os resultados:
Resposta
A área da região $ R $ limitada pelas curvas $ y = x^{2} $ e $ y = 9 $ é $ 36 $ unidades quadradas.