Calcular as derivadas das funções.
Passo 1
Beleza, a gente tem um exercício para calcular a derivada da função $ y = \left(x^{3} - x^{2} + 1\right)^{9} $. Vamos usar o conceito de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à variável, que aqui é o $ x $. Basicamente, ela nos diz como a função está mudando naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a regra da cadeia. Essa regra é usada quando temos uma função dentro de outra função, como é o caso aqui. A ideia é derivar a função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
- Identificamos a função de fora: $ u^{9} $, onde $ u = x^{3} - x^{2} + 1 $.
- Derivamos a função de fora em relação a $ u $: $ \frac{d}{du}u^{9} = 9u^{8} $.
- Derivamos a função de dentro em relação a $ x $: $ \frac{d}{dx}(x^{3} - x^{2} + 1) = 3x^{2} - 2x $.
- Multiplicamos as duas derivadas: $ 9u^{8} \cdot (3x^{2} - 2x) $.
- Substituímos $ u $ de volta: $ 9(x^{3} - x^{2} + 1)^{8} \cdot (3x^{2} - 2x) $.
Resposta
A derivada da função é $ \frac{dy}{dx} = 9\left(x^{3} - x^{2} + 1\right)^{8} \cdot \left(3x^{2} - 2x\right) $.