Calcule a integral abaixo, usando o Método de Frações Parciais.
(2,5 pontos)
Passo 1
A gente precisa calcular a integral de $ \frac{1}{x(x+1)^2} $ em relação a $ x $ usando o Método de Frações Parciais. Esse método ajuda a decompor frações complicadas em frações mais simples, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração $ \frac{1}{x(x+1)^2} $ em frações mais simples. A ideia é escrever a expressão como uma soma de frações com denominadores menores.
Passo 3
Assumimos que podemos escrever:
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por $ x(x+1)^2 $ para eliminar os denominadores:
Passo 5
Vamos expandir os termos do lado direito:
Passo 6
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de $ x^2 $: $ A + B = 0 $
- Coeficiente de $ x $: $ 2A + B + C = 0 $
- Termo constante: $ A = 1 $
Passo 8
Resolvemos o sistema de equações:
- De $ A = 1 $, já temos $ A = 1 $.
- Substituindo $ A $ na primeira equação: $ 1 + B = 0 $
$ B = -1 $. - Substituindo $ A $ e $ B $ na segunda equação: $ 2(1) + (-1) + C = 0 $
$ 1 + C = 0 $ $ C = -1 $.
Passo 9
Agora, substituímos $ A $, $ B $ e $ C $ de volta na decomposição inicial:
Passo 10
Finalmente, integramos cada termo separadamente:
Aqui, $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a $ \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C $.