Calcule a integral abaixo, usando o Método de Frações Parciais.
integral d xx(x+1)^2 d x
(2,5 pontos)

Passo 1

A gente precisa calcular a integral de $ \frac{1}{x(x+1)^2} $ em relação a $ x $ usando o Método de Frações Parciais. Esse método ajuda a decompor frações complicadas em frações mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração $ \frac{1}{x(x+1)^2} $ em frações mais simples. A ideia é escrever a expressão como uma soma de frações com denominadores menores.

Passo 3

Assumimos que podemos escrever:
1x(x+1)^2 = Ax + Bx+1 + C(x+1)^2
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por $ x(x+1)^2 $ para eliminar os denominadores:
x(x+1)^2

Passo 5

Vamos expandir os termos do lado direito:
1 = A(x^2 + 2x + 1) + Bx(x + 1) + Cx
1 = A x^2 + 2A x + A + B x^2 + B x + C x

Passo 6

Agrupamos os termos semelhantes:
1 = (A + B)x^2 + (2A + B + C)x + A

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de $ x^2 $: $ A + B = 0 $
  • Coeficiente de $ x $: $ 2A + B + C = 0 $
  • Termo constante: $ A = 1 $

Passo 8

Resolvemos o sistema de equações:
  1. De $ A = 1 $, já temos $ A = 1 $.
  2. Substituindo $ A $ na primeira equação: $ 1 + B = 0 $ A = 1 $ B = -1 $.
  3. Substituindo $ A $ e $ B $ na segunda equação: $ 2(1) + (-1) + C = 0 $ A = 1 $ 1 + C = 0 $ A $ C = -1 $.

Passo 9

Agora, substituímos $ A $, $ B $ e $ C $ de volta na decomposição inicial:
A

Passo 10

Finalmente, integramos cada termo separadamente:
integral 1x dx - integral 1x+1 dx - integral 1(x+1)^2 dx
= ln|x| - ln|x+1| + 1x+1 + C
Aqui, $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a $ \ln|x| - \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + C $.

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