Sabendo que a equação polar é dada por r=4(cos 2 theta), pede-se:
b. Obtenha, em coordenadas polares, dois pontos que pertençam ao gráfico da equação. Em seguida, apresente seus correspondentes em coordenadas cartesianas.
(2,5 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem a equação polar $ r = 4\cos(2\theta) $. O que a gente precisa fazer é encontrar dois pontos que estão nesse gráfico usando coordenadas polares e depois converter esses pontos para coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar conceitos de trigonometria e as fórmulas de conversão entre coordenadas polares e cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher dois valores para $ \theta $ para encontrar os correspondentes valores de $ r $. Lembrando que em coordenadas polares, cada ponto é definido por $ (r, \theta) $, onde $ r $ é a distância do ponto à origem e $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo positivo do x.

Passo 3

Vamos escolher $ \theta = 0 $ radianos. Substituindo na equação:
theta = 0
Então, o primeiro ponto em coordenadas polares é $ (4, 0) $.

Passo 4

Agora, vamos escolher $ \theta = \frac{\pi}{4} $ radianos. Substituindo na equação:
theta = pi4
Então, o segundo ponto em coordenadas polares é $ (0, \frac{\pi}{4}) $.

Passo 5

Agora, vamos converter esses pontos para coordenadas cartesianas usando as fórmulas:
x = rcos(theta)
y = rsin(theta)

Passo 6

Para o primeiro ponto $ (4, 0) $:
(4, 0)
x = 4cos(0) = 4 times 1 = 4
Então, em coordenadas cartesianas, o ponto é $ (4, 0) $.

Passo 7

Para o segundo ponto $ (0, \frac{\pi}{4}) $:
(0, pi4)
x = 0cos(pi4) = 0
Então, em coordenadas cartesianas, o ponto é $ (0, 0) $.

Resposta

Os dois pontos no gráfico da equação $ r = 4\cos(2\theta) $ são:
  1. Em coordenadas polares: $ (4, 0) $ → Em coordenadas cartesianas: $ (4, 0) $
  2. Em coordenadas polares: $ (0, \frac{\pi}{4}) $ → Em coordenadas cartesianas: $ (0, 0) $

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