Sabendo que a equação polar é dada por
, pede-se:
b. Obtenha, em coordenadas polares, dois pontos que pertençam ao gráfico da equação. Em seguida, apresente seus correspondentes em coordenadas cartesianas.
(2,5 pontos)
b. Obtenha, em coordenadas polares, dois pontos que pertençam ao gráfico da equação. Em seguida, apresente seus correspondentes em coordenadas cartesianas.
(2,5 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem a equação polar $ r = 4\cos(2\theta) $. O que a gente precisa fazer é encontrar dois pontos que estão nesse gráfico usando coordenadas polares e depois converter esses pontos para coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar conceitos de trigonometria e as fórmulas de conversão entre coordenadas polares e cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher dois valores para $ \theta $ para encontrar os correspondentes valores de $ r $. Lembrando que em coordenadas polares, cada ponto é definido por $ (r, \theta) $, onde $ r $ é a distância do ponto à origem e $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo positivo do x.
Passo 3
Vamos escolher $ \theta = 0 $ radianos. Substituindo na equação:
Então, o primeiro ponto em coordenadas polares é $ (4, 0) $.
Passo 4
Agora, vamos escolher $ \theta = \frac{\pi}{4} $ radianos. Substituindo na equação:
Então, o segundo ponto em coordenadas polares é $ (0, \frac{\pi}{4}) $.
Passo 5
Agora, vamos converter esses pontos para coordenadas cartesianas usando as fórmulas:
Passo 6
Para o primeiro ponto $ (4, 0) $:
Então, em coordenadas cartesianas, o ponto é $ (4, 0) $.
Passo 7
Para o segundo ponto $ (0, \frac{\pi}{4}) $:
Então, em coordenadas cartesianas, o ponto é $ (0, 0) $.
Resposta
Os dois pontos no gráfico da equação $ r = 4\cos(2\theta) $ são:
- Em coordenadas polares: $ (4, 0) $ → Em coordenadas cartesianas: $ (4, 0) $
- Em coordenadas polares: $ (0, \frac{\pi}{4}) $ → Em coordenadas cartesianas: $ (0, 0) $