Calcular as derivadas laterais onde a função não é derivável. Esboce o gráfico.
x, & se x<1 2 x-1, & se x >= 1

Passo 1

O enunciado define uma função por partes: f(x)=x para x<1 e f(x)=2x-1 para x>=1. O objetivo é calcular as derivadas laterais em x=1, ponto onde a função pode não ser derivável, e depois esboçar o gráfico. Vamos usar a definição de derivada lateral e a regra de derivação de funções lineares.

Passo 2

Para cada ramo, calculamos a derivada. Para x<1 temos f(x)=x, que é uma função linear de coeficiente angular 1, logo: f'(x)=1 para x<1. Para x>1 temos f(x)=2x-1, outra linear de coeficiente 2, portanto: f'(x)=2 para x>1.

Passo 3

Agora, aplicamos a definição de derivadas laterais em x=1. Primeiro a derivada lateral à esquerda:
f'-(1)=limhto0^-f(1+h)-f(1)h=limhto0^-(1+h)-1h=1
E a derivada lateral à direita:
f'+(1)=limhto0^+f(1+h)-f(1)h=limhto0^+2(1+h)-1-1h=2

Passo 4

Como as laterais são diferentes ( 1neq2), concluímos que f não é derivável em x=1. Para esboçar o gráfico, desenhamos a reta y=x até x=1 e depois a reta y=2x-1 para x>=1. Elas se encontram no ponto (1,1).

Resposta

As derivadas laterais em x=1 são f'-(1)=1 e f'+(1)=2, logo f não é derivável em x=1. O gráfico é composto pela reta y=x para x<1 e pela reta y=2x-1 para x>=1, encontrando-se ambas no ponto (1,1).

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