Construa os gráficos das funções a seguir.
Passo 1
A questão pede o esboço do gráfico de f(x)=||x²−1|−3|, então vamos usar teoria de valor absoluto e transformações de funções para montar um gráfico piecewise.
Passo 2
O valor absoluto é definido por
Aqui temos duas camadas de valor absoluto: primeiro u(x)=|x²−1| e depois f(x)=|u(x)−3|.
Passo 3
Para estudar u(x)=|x²−1| separamos em dois casos:
- Se x²−1≥0 (isto é, |x|≥1), então u(x)=x²−1.
- Se x²−1<0 (isto é, |x|<1), então u(x)=1−x².
Passo 4
Em seguida, definimos f(x)=|u(x)−3| de modo similar, para cada expressão de u(x):
- Regiões onde |x|≥1 e u(x)=x²−1:
- Se x²−1≥3 ⇔ x²≥4 ⇔ |x|≥2, então f(x)=(x²−1)−3=x²−4.
- Se 0≤x²−1<3 ⇔ 1≤|x|<2, então f(x)=3−(x²−1)=4−x².
- Região onde |x|<1 e u(x)=1−x²:
- Aqui 1−x²≤1<3, sempre u(x)❤️, então f(x)=3−(1−x²)=2+x².
Passo 5
Agora montamos o gráfico juntando os pedaços:
- Para |x|≥2: f(x)=x²−4 (parábola voltada pra cima) com ponto de transição em x=±2 onde f(±2)=0.
- Para 1≤|x|<2: f(x)=4−x² (parábola voltada pra baixo) que em x=±1 vale f(±1)=3 e cai até f(±2)=0.
- Para |x|≤1: f(x)=2+x² (parábola voltada pra cima) que atinge mínimo f(0)=2 e em x=±1 vale f(±1)=3.
Passo 6
Com esses trechos fica fácil desenhar: três arcos de parábola contínuos e simétricos em relação ao eixo y, mudando de concavidade em x=±1 e juntando suavemente em x=±2.
Resposta
A função é dada por
O gráfico é formado por essas três parábolas simétricas em torno de y-axis, com vértices em (0,2), (±1,3) e pontos de união em (±2,0).