Use as propriedades de módulo e conjugado para provar a Desigualdade Triangular:
Passo 1
A questão pede para provar a desigualdade triangular para números complexos, que é . Vamos usar as propriedades de módulo e conjugado: (1) , (2) , (3) Re(w) <= lvert wrvert e (4) lvert z1,z2rvert = lvert z1rvert,lvert z2rvert.
Passo 2
Começamos calculando o quadrado do módulo da soma para trazer o conjugado à cena.
Vamos expandir usando a propriedade de conjugado e módulo:
Passo 3
Usamos a estimativa Re(z1bar z2) <= lvert z1bar z2rvert = lvert z1rvert,lvert z2rvert, o que dá que o lado direito é (lvert z1rvert+lvert z2rvert)^2.
Por fim, como ambos os lados são não negativos, tiramos raiz quadrada para obter a desigualdade desejada.