Use as propriedades de módulo e conjugado para provar a Desigualdade Triangular:
|z1+z2| <=|z1|+|z2|

Passo 1

A questão pede para provar a desigualdade triangular para números complexos, que é lvert z1 + z2rvert <= lvert z1rvert + lvert z2rvert. Vamos usar as propriedades de módulo e conjugado: (1) lvert zrvert^2 = zoverline z, (2) z1+z2 = bar z1 + bar z2, (3) Re(w) <= lvert wrvert e (4) lvert z1,z2rvert = lvert z1rvert,lvert z2rvert.

Passo 2

Começamos calculando o quadrado do módulo da soma para trazer o conjugado à cena.
Vamos expandir usando a propriedade de conjugado e módulo:

Passo 3

Usamos a estimativa Re(z1bar z2) <= lvert z1bar z2rvert = lvert z1rvert,lvert z2rvert, o que dá que o lado direito é (lvert z1rvert+lvert z2rvert)^2.
Por fim, como ambos os lados são não negativos, tiramos raiz quadrada para obter a desigualdade desejada.

Resposta

lvert z1 + z2rvert <= lvert z1rvert + lvert z2rvert

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