Encontre a parte real e a parte imaginária dos números complexos z abaixo e escreva-os sob a forma Re(z)+Im(z) j.
(f) (1+j raiz3)^-10

Passo 1

Estamos com o número complexo z = (1 + jraiz3)^-10. O conteúdo é exponenciação de números complexos usando a forma trigonométrica e o Teorema de De Moivre. Vamos precisar converter 1 + jraiz3 para forma polar, aplicar a potência -10 e depois extrair a parte real e imaginária.

Passo 2

Calculemos o módulo e o argumento de 1 + jraiz3: o módulo é r = raiz1^2 + (raiz3)^2 = 2. O argumento theta satisfaz tan theta = raiz31 = raiz3, logo theta = pi3. Assim,
1 + jraiz3 = 2l(cos(tfracpi3) + jsin(tfracpi3)r).

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre,
(1 + jraiz3)^-10 = 2^-10l(cos(-10cdottfracpi3) + jsin(-10cdottfracpi3)r)

Passo 4

Reduzindo o ângulo:
$ -10\tfrac{\pi}{3} = -\tfrac{10\pi}{3} + 4\pi = -\tfrac{10\pi}{3} + \tfrac{12\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}.$

Passo 5

Portanto

Passo 6

Como cos(tfrac2pi3) = -tfrac12 e sin(tfrac2pi3) = tfracraiz32, temos
(1 + jraiz3)^-10 = 2^-10l(-tfrac12 + jtfracraiz32r) = -tfrac12^11 + jtfracraiz32^11

Resposta

-tfrac12^11 + jtfracraiz32^11

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