Calcular as derivadas parciais de 1ºrdem das funções:
a) f(x, y)=y^2 ln (x^2+y^2)
b) f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2
c) z=(x+y) e^x+2 y
d) z=e^x^2+y^2-4
e) z=raizx y-x y
f) z=raizx^2+y^2-x^2-y^2
g) f(x, y)=l5 x y^2x^2+y^2, 0, (x, y) neq(0,0)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de várias funções de duas variáveis. O conteúdo envolve aplicação das regras do produto, quociente e cadeia, dependendo do caso.

Passo 2

Para a função f(x,y)=y^2,ln(x^2+y^2), note que é produto de y^2 por ln(cdot) e dentro deste um composto x^2+y^2. Usamos produto e cadeia.
Para f(x,y)=dfracx^2-y^2x^2+y^2 aplicamos a regra do quociente: fx=dfracN'xD-ND'xD^2 e similar para fy.

Passo 3

Em z=(x+y)e^x+2y usamos a regra do produto entre (x+y) e e^x+2y e, dentro de e^cdot, a regra da cadeia.

Passo 4

Para z=e^x^2+y^2-4 é direto: derivada de exponencial composta por x^2+y^2-4, só cadeia.

Passo 5

Na função z=raizxy-xy escrevemos raizxy=(xy)^1/2 e usamos cadeia em (xy)^1/2 e produto para -xy.

Passo 6

Em z=raizx^2+y^2-x^2-y^2 escrevemos r=raizx^2+y^2 e aplicamos cadeia em r junto com derivada de -x^2-y^2).

Passo 7

Para a parte por peças f(x,y)=5xy^2/(x^2+y^2) se (x,y)neq(0,0), usamos quociente; no ponto (0,0) calculamos fx(0,0) e fy(0,0) pelos limites definidores.

Resposta

a) Para f(x,y)=y^2,ln(x^2+y^2):
fx=2x,y^2x^2+y^2, fy=2yln(x^2+y^2)+2y^3x^2+y^2
b) Para f(x,y)=dfracx^2-y^2x^2+y^2:
fx=4x,y^2(x^2+y^2)^2, fy=-4x^2,y(x^2+y^2)^2
c) Para z=(x+y)e^x+2y:
zx=(1+x+y)e^x+2y, zy=(1+2x+2y)e^x+2y
d) Para z=e^x^2+y^2-4:
zx=2x,e^x^2+y^2-4, zy=2y,e^x^2+y^2-4
e) Para z=raizxy-xy:
zx=y2raizxy-y, zy=x2raizxy-x
f) Para z=raizx^2+y^2-x^2-y^2:
zx=xraizx^2+y^2-2x, zy=yraizx^2+y^2-2y
g) Para
f(x,y)=5xy^2x^2+y^2,(x,y)neq(0,0),
valem
fx=5y^2(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2, fy=10x^3y(x^2+y^2)^2
No ponto (0,0):
fx(0,0)=0, fy(0,0)=0

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