Seja f(x)=clx+1, & se x<2 1, & se x >= 2
(a) f é contínua em 2 ? Por quê?

Passo 1

Temos a função por partes
f(x)=x+1,&x<21,&x>=2
O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por pedaços. Para verificar se f é contínua em 2, vamos usar a definição: f é contínua em x=2 se
limxto2f(x)=f(2)
e esse limite existe somente se os limites laterais coincidem. Pela definição de continuidade em um ponto, precisamos calcular o valor da função em 2 e os limites laterais em 2. Em seguida vamos comparar tudo.

Passo 2

Como 2 cai na segunda parte (x\ge2), temos
f(2)=1

Passo 3

Para o limite pela esquerda, usamos a expressão x+1 e calculamos
limxto2^-f(x)=limxto2^-(x+1)=2+1=3

Passo 4

Para o limite pela direita, usamos a constante 1 e temos
limxto2^+f(x)=limxto2^+1=1

Passo 5

Os limites laterais não coincidem (3 \neq 1), logo limxto2f(x) não existe. Portanto não podemos atender à condição de continuidade em 2.

Resposta

Não é contínua em 2, pois os limites laterais são diferentes (3 pela esquerda e 1 pela direita), então limxto2f(x) não existe e não iguala a f(2).

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