Determine a derivada de:
(j) ; f(x)=arccos (sen(x))

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=arccos(sin x). O tema é derivada de composição de funções, e vamos precisar da regra da cadeia, da derivada de arccos(u) e da derivada de sin x.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, lembramos que, se g(u)=arccos(u), então
ddul(arccos(u)r)=-1raiz1-u^2
Agora tomamos u=sin x. Pela regra da cadeia,
f'(x)=ddxl(arccos(sin x)r)=ddul(arccos(u)r)g|u=sin xcdotddx(sin x)
Substituindo as derivadas conhecidas,
f'(x)=-1raiz1-(sin x)^2cdotcos x=-cos xraiz1-sin^2 x
Podemos observar que raiz1-sin^2 x=|cos x|, logo
f'(x)=-cos x|cos x|,
que também pode ser escrito simplesmente como -cos x/raiz1-sin^2 x.

Resposta

f'(x)=-dfraccos xraiz1-sin^2 x

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