Determine f^prime, f^prime prime e f^prime prime prime considerando as funções abaixo:
(c) ; f(x)=x^12+5 x^3+4 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as primeiras três derivadas da função polinomial f(x)=x^12+5x^3+4x. Vamos usar a regra do poder, que diz que ddxx^n = n x^n-1, e a linearidade da derivada.

Passo 2

Aplicando a regra do poder em cada termo para obter a primeira derivada:
f'(x)=ddx(x^12)+5ddx(x^3)+4ddx(x)
Usando ddxx^12=12x^11, ddxx^3=3x^2 e ddxx=1, temos:
f'(x)=12x^11+5cdot3x^2+4cdot1=12x^11+15x^2+4

Passo 3

Para a segunda derivada, derivamos f'(x):
f''(x)=ddx(12x^11)+ddx(15x^2)+ddx(4)
Calculando: ddx(12x^11)=12cdot11x^10=132x^10, ddx(15x^2)=15cdot2x=30x e ddx(4)=0. Logo,
f''(x)=132x^10+30x

Passo 4

Para a terceira derivada, derivamos f''(x):
f'''(x)=ddx(132x^10)+ddx(30x)
Usando a regra do poder: ddx(132x^10)=132cdot10x^9=1320x^9 e ddx(30x)=30. Portanto,
f'''(x)=1320x^9+30

Resposta

f'(x)=12x^11+15x^2+4, f''(x)=132x^10+30x, f'''(x)=1320x^9+30

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