Calcular as derivadas parciais indicadas:
13) u=3 x y-4 y^2, x=2 s e^r, y=r e^-s, partial upartial r=?, partial upartial s= ?,
R: partial upartial r=6 y s e^r+(3 x-8 y) e^-s, partial upartial s=6 y e^r+(8 y-3 x) r e^-s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de u = 3xy - 4y^2, x = 2s e^r, y = r e^-s em relação a e . O enunciado nos dá as seguintes equações:
A matéria aqui é derivada parcial, que é uma ferramenta para ver como uma função muda quando a gente varia uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes. Vamos precisar da regra da cadeia, que nos ajuda a derivar composições de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r depende de e através de e . Como é uma função de e , e e são funções de e , precisamos usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis diz que:
E de forma similar para .

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais passo a passo.
Primeiro, calculemos as derivadas parciais de partial upartial x = 3y em relação a partial upartial y = 3x - 8y e x = 2s e^r implies partial xpartial r = 2s e^r :
y = r e^-s implies partial ypartial r = e^-s
partial xpartial s = 2 e^r
Agora, vamos encontrar as derivadas de partial ypartial s = -r e^-s e em relação a e :
Para :
Para :
Já para as derivadas em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r :
partial upartial r = (3y) cdot (2s e^r) + (3x - 8y) cdot e^-s
Substituindo os valores que encontramos:
partial upartial r = 6y s e^r + (3x - 8y) e^-s
Simplificando:
partial upartial s = partial upartial x cdot partial xpartial s + partial upartial y cdot partial ypartial s
Para partial upartial s = (3y) cdot (2 e^r) + (3x - 8y) cdot (-r e^-s) :
partial upartial s = 6y e^r + (8y - 3x) r e^-s
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial upartial r = 6y s e^r + (3x - 8y) e^-s
partial upartial s = 6y e^r + (8y - 3x) r e^-s

Exercícios relacionados