Calcular as derivadas parciais indicadas:
8) w=ln (x^2+4 y^2-5 z^2), partial^3 wpartial x partial z partial y= ?, partial^3 wpartial x partial y^2= ?
R: partial^3 wpartial x partial z partial y=-320 x y z(x^2+4 y^2-5 z^2)^3, partial^3 wpartial x partial y^2=16 x(5 z^2+12 y^2-x^2)(x^2+4 y^2-5 z^2)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que envolve cálculo de derivadas parciais de uma função. O enunciado nos dá a função e pede para calcular duas derivadas parciais de terceira ordem: e . Para isso, vamos precisar entender como derivar funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia em múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial wpartial x = 1x^2 + 4y^2 - 5z^2 cdot partialpartial x(x^2 + 4y^2 - 5z^2) = 2xx^2 + 4y^2 - 5z^2 em relação a . Usamos a regra da cadeia para derivar a função logarítmica:

Passo 3

Agora, vamos derivar essa expressão em relação a partial^2 wpartial y partial x = partialpartial y ( 2xx^2 + 4y^2 - 5z^2 ) para obter a segunda derivada parcial:
partial^2 wpartial y partial x = 2x cdot partialpartial y ( 1x^2 + 4y^2 - 5z^2 ) = 2x cdot ( -8y(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^2 ) = -16xy(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^2
Aplicamos a regra do quociente:

Passo 4

Seguimos derivando essa terceira expressão em relação a partial^3 wpartial x partial z partial y = partialpartial z ( -16xy(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^2 ) para encontrar a derivada parcial de terceira ordem partial^3 wpartial x partial z partial y = -16xy cdot partialpartial z ( 1(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^2 ) = -16xy cdot ( -20z(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^3 ) = 320xyz(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^3 :
Aplicamos a regra do quociente novamente:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial wpartial y = 1x^2 + 4y^2 - 5z^2 cdot 8y = 8yx^2 + 4y^2 - 5z^2 em relação a partial^2 wpartial y^2 = partialpartial y ( 8yx^2 + 4y^2 - 5z^2 ) = 8 cdot x^2 + 4y^2 - 5z^2 - 8y^2(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^2 = 8(x^2 - 4y^2 - 5z^2)(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^2 para depois derivar em relação a , isso para encontrar .
Primeiro, já temos a primeira derivada em relação a :
Derivando novamente em relação a :

Passo 6

Finalmente, vamos derivar essa expressão em relação a partial^3 wpartial x partial y^2 = partialpartial x ( 8(x^2 - 4y^2 - 5z^2)(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^2 ) para obter partial^3 wpartial x partial y^2 = 8 cdot 2x cdot (x^2 + 4y^2 - 5z^2)^2 - (x^2 - 4y^2 - 5z^2) cdot 2(x^2 + 4y^2 - 5z^2) cdot 2x(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^4 :
partial^3 wpartial x partial y^2 = 16x(5z^2 + 12y^2 - x^2)(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^3
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Resposta

partial^3 wpartial x partial z partial y = 320xyz(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^3, partial^3 wpartial x partial y^2 = 16x(5z^2 + 12y^2 - x^2)(x^2 + 4y^2 - 5z^2)^3

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