Calcular as derivadas parciais indicadas:
8)
?,
?
8)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que envolve cálculo de derivadas parciais de uma função. O enunciado nos dá a função
e pede para calcular duas derivadas parciais de terceira ordem:
e
. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções logarítmicas e aplicar a regra da cadeia em múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia para derivar a função logarítmica:
Passo 3
Agora, vamos derivar essa expressão em relação a
para obter a segunda derivada parcial:
Aplicamos a regra do quociente:
Passo 4
Seguimos derivando essa terceira expressão em relação a
para encontrar a derivada parcial de terceira ordem
:
Aplicamos a regra do quociente novamente:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
para depois derivar em relação a
, isso para encontrar
.
Primeiro, já temos a primeira derivada em relação a
:
Derivando novamente em relação a
:
Passo 6
Finalmente, vamos derivar essa expressão em relação a
para obter
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando: