Questão ( 1,5 ponto): Resolva o problema de valor inicial abaixo:
dy/dx = 4/x * y + x * raiz(y) ; y(1) = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial:
com a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis e talvez um fator integrante, dependendo de como a equação se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. A equação pode ser escrita como:
Isso se parece com uma equação linear na forma , onde:
No entanto, o termo torna a equação não linear, então precisaremos de outra abordagem.

Passo 3

Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Agora, encontramos a derivada de em relação a :
Substituindo isso na equação original:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (assumindo que ):
Agora, temos uma equação linear para .

Passo 4

Vamos resolver a equação linear resultante:
Para resolver isso, usamos o fator integrante. Calculamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
A equação à esquerda agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Lembrando que , temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial :
Sabemos que , então:
Para simplicidade, escolhemos (a solução com também é válida).

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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