Questão ( 1,5 ponto): Resolva o problema de valor inicial abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial:
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis e talvez um fator integrante, dependendo de como a equação se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. A equação pode ser escrita como:
Isso se parece com uma equação linear na forma
, onde:
No entanto, o termo
torna a equação não linear, então precisaremos de outra abordagem.
Passo 3
Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Agora, encontramos a derivada de
em relação a
:
Substituindo isso na equação original:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo que
):
Agora, temos uma equação linear para
.
Passo 4
Vamos resolver a equação linear resultante:
Para resolver isso, usamos o fator integrante. Calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
A equação à esquerda agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Lembrando que
, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Sabemos que
, então:
Para simplicidade, escolhemos
(a solução com
também é válida).
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: