Calcular as derivadas parciais indicadas:
18) z^2-sen(x+y)=3 e^2 y, partial zpartial x=?, partial zpartial y= ?
R: partial zpartial x=cos (x+y)2 z, partial zpartial y=cos (x+y)+6 e^2 y2 z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A gente tem uma equação que relaciona as variáveis , e , e precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . Para isso, vamos usar a técnica de derivação implícita, que é quando a gente tem uma equação envolvendo várias variáveis e quer encontrar como uma delas muda em relação a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação que a gente tem:
z^2 - sin(x + y) = 3 e^2y
Queremos encontrar e .

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a partialpartial x(z^2) - partialpartial x(sin(x + y)) = partialpartial x(3 e^2y) , lembrando que 2z cdot partial zpartial x - cos(x + y) = 0 é uma função de e :
Agora, fazemos as derivadas:
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0, porque não tem ali.
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver para 2z cdot partial zpartial x = cos(x + y) :
partial zpartial x = cos(x + y)2z
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Vamos repetir o processo, agora derivando a equação original em relação a partialpartial y(z^2) - partialpartial y(sin(x + y)) = partialpartial y(3 e^2y) :
2z cdot partial zpartial y - cos(x + y) = 6 e^2y
As derivadas ficam:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Substituindo na equação:

Passo 6

Resolvendo para 2z cdot partial zpartial y = cos(x + y) + 6 e^2y :
partial zpartial y = cos(x + y) + 6 e^2y2z
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = cos(x + y)2z, partial zpartial y = cos(x + y) + 6 e^2y2z

Exercícios relacionados