Calcular as derivadas parciais indicadas:
  1. z=3 a y^31+2 a x^3, partial zpartial x= ?, partial zpartial y= ?, R : partial zpartial x=-18 a^2 x^2 y^3(1+2 a x^3)^2, partial zpartial y=9 a y^21+2 a x^3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis:
z = 3 a y^31 + 2 a x^3
E precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos usar a regra do quociente e a regra da potência da derivação.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de ddx(uv) = u'v - uv'v^2 em relação a partial zpartial x = 0 cdot (1 + 2 a x^3) - 3 a y^3 cdot 6 a x^2(1 + 2 a x^3)^2 , que é partial zpartial x = -18 a^2 x^2 y^3(1 + 2 a x^3)^2 .
A regra do quociente diz que, se você tem uma função , a derivada em relação a é:
Aqui, temos:
  • (que é constante em relação a , porque só depende de )
Primeiro, vamos encontrar e :
  • (já que é tratado como constante)
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z = 3 a y^3 cdot (1 + 2 a x^3)^-1 em relação a ddy(y^n) = n y^n-1 , que é partial zpartial y = 3 a cdot 3 y^2 cdot (1 + 2 a x^3)^-1 .
Aqui, apenas partial zpartial y = 9 a y^21 + 2 a x^3 está variando, então vamos tratar como constante. A função fica:
Usando a regra da potência, sabemos que:
Aplicando isso:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -18 a^2 x^2 y^3(1 + 2 a x^3)^2
partial zpartial y = 9 a y^21 + 2 a x^3

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