Calcular as derivadas parciais indicadas:
6) z=arcsen(3 yx^2), partial^2 zpartial x partial y= ?, R :-6 x^3raiz(x^4-9 y^2)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a derivada parcial mista de segunda ordem da função , ou seja, . O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas parciais e regra da cadeia. Basicamente, vamos primeiro derivar em relação a e depois derivar o resultado em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial zpartial y = 1raiz1 - (3yx^2)^2 cdot partialpartial y(3yx^2) em relação a partial zpartial y = 1raiz1 - 9y^2x^4 cdot 3x^2 = 3x^2 raiz1 - 9y^2x^4 , que é . Sabemos que a derivada da função em relação a é . Aqui, .
Aplicando a regra da cadeia:
A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar partial zpartial y = 3x^2 raiz1 - 9y^2x^4 em relação a raiz1 - 9y^2x^4 = raizx^4 - 9y^2x^4 = raizx^4 - 9y^2x^2 para encontrar partial zpartial y = 3x^2 cdot x^2raizx^4 - 9y^2 = 3raizx^4 - 9y^2 .
Temos:
partial^2 zpartial x partial y = partialpartial x ( 3raizx^4 - 9y^2 )
Vamos reescrever o denominador para facilitar:
partial^2 zpartial x partial y = 3 cdot ( -12 ) (x^4 - 9y^2)^-3/2 cdot partialpartial x(x^4 - 9y^2)
Então:
partial^2 zpartial x partial y = 3 cdot ( -12 ) cdot 4x^3 cdot (x^4 - 9y^2)^-3/2 = -6x^3 cdot (x^4 - 9y^2)^-3/2
Agora, vamos derivar isso em relação a :
Usando a regra da cadeia novamente:
A derivada de em relação a é .
Então:

Resposta

partial^2 zpartial x partial y = -6x^3raiz(x^4 - 9y^2)^3

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