Calcular as derivadas parciais indicadas:
16) x^3 y^2 z+ln (x zy)=y z^2, partial zpartial x= ?, partial zpartial y= ?
R: partial zpartial x=3 x^3 y^2 z^22 x y z^2-x-x^4 y^2 z, partial zpartial y=z+y z^3-2 x^3 y^2 z^2x^3 y^3 z-2 y^2 z^2+y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que envolve várias variáveis: x^3 y^2 z + ln (x zy) = y z^2 , e . A equação é:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos usar a derivação implícita, que é uma técnica para diferenciar equações onde as variáveis estão todas misturadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo igual a zero, o que facilita na hora de derivar:
x^3 y^2 z + ln (x zy) - y z^2 = 0
Isso nos ajuda a aplicar a derivada de forma mais organizada.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo da equação em relação a partialpartial x (x^3 y^2 z) = 3x^2 y^2 z + x^3 y^2 partial zpartial x . Lembrando que partialpartial x [ln (x zy)] = 1x zy cdot ( zy + xy partial zpartial x ) = zx z + x partial zpartial xx z = 1x + 1z partial zpartial x é tratada como constante ao derivar com relação a partialpartial x (-y z^2) = -y cdot 2z partial zpartial x = -2y z partial zpartial x .
  1. Derivada de em relação a :
Aqui usamos a regra do produto, derivando e deixando o resto constante, e depois mantendo constante e derivando .
  1. Derivada de em relação a :
Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada da logaritmo é , onde .
  1. Derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 4

Juntando todas as derivadas, temos:
3x^2 y^2 z + x^3 y^2 partial zpartial x + 1x + 1z partial zpartial x - 2y z partial zpartial x = 0
Vamos organizar os termos que contêm (x^3 y^2 + 1z - 2y z ) partial zpartial x + 3x^2 y^2 z + 1x = 0 :

Passo 5

Agora, vamos isolar (x^3 y^2 + 1z - 2y z ) partial zpartial x = -3x^2 y^2 z - 1x :
partial zpartial x = -3x^2 y^2 z - 1x x^3 y^2 + 1z - 2y z
E então:
partial zpartial x = -3x^3 y^2 z^2 - 1 x^4 y^2 z + x - 2x y z^2
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por partial zpartial x = 3x^3 y^2 z^22x y z^2 - x - x^4 y^2 z :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Agora, vamos repetir o processo para partialpartial y (x^3 y^2 z) = 2x^3 y z + x^3 y^2 partial zpartial y . Desta vez, vamos derivar a equação em relação a partialpartial y [ln (x zy)] = 1x zy cdot ( xy partial zpartial y - x zy^2 ) = yx z ( xy partial zpartial y - x zy^2 ) = partial zpartial y cdot 1z - 1y , tratando partialpartial y (-y z^2) = -z^2 - y cdot 2z partial zpartial y = -z^2 - 2y z partial zpartial y como constante.
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 7

Juntando tudo:
2x^3 y z + x^3 y^2 partial zpartial y + 1z partial zpartial y - 1y - z^2 - 2y z partial zpartial y = 0
Organizando os termos com ( x^3 y^2 + 1z - 2y z ) partial zpartial y + 2x^3 y z - 1y - z^2 = 0 :

Passo 8

Isolando ( x^3 y^2 + 1z - 2y z ) partial zpartial y = -2x^3 y z + 1y + z^2 :
partial zpartial y = -2x^3 y^2 z^2 + z + y z^3 x^3 y^3 z - 2y^2 z^2 + y
Multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

partial zpartial x = 3 x^3 y^2 z^22 x y z^2 - x - x^4 y^2 z e partial zpartial y = z + y z^3 - 2 x^3 y^2 z^2x^3 y^3 z - 2 y^2 z^2 + y

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