Calcular as derivadas parciais de 1^a ordem das seguintes funções:
d) p(x, y)=(e^2 x, x y e^3 y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
p(x,y) = l(e^2x,,x y e^3yr)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Como em funções vetoriais as derivadas parciais são calculadas componente a componente, vamos achar
partial p1/partial x, partial p1/partial y, partial p2/partial x e partial p2/partial y, onde
p1(x,y)=e^2x, p2(x,y)=x y e^3y

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de p1(x,y)=e^2x:
– Ao derivar em relação a x, tratamos y como constante e usamos a regra da cadeia:
partial p1partial x = ddxe^2x = 2e^2x
– Ao derivar em relação a y, e^2x é constante em y, logo
partial p1partial y = 0

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de p2(x,y)=x y e^3y:
– Ao derivar em relação a x, tratamos y como constante, então
partial p2partial x = y e^3y
– Ao derivar em relação a y, usamos a regra do produto em xcdot y e a regra da cadeia em e^3y:
partial p2partial y = xddyl(y e^3yr) = xl(e^3y + ycdot3e^3yr) = x(1+3y)e^3y

Resposta

partial ppartial x(x,y) = l(2e^2x,,y e^3yr), partial ppartial y(x,y) = l(0,,x(1+3y)e^3yr)

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