Encontre e represente geometricamente o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) in R times R que satisfazem as seguintes equações:
|x y| <= 2

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os pares (x,y)inR^2 tais que lvert x,yrvert<=2. O conteúdo é geometria analítica de curvas de nível da função f(x,y)=x,y, e para resolver vamos reescrever a desigualdade de forma a identificar as curvas de contorno.

Passo 2

Reescrevemos a desigualdade lvert x,yrvert<=2 como duas desigualdades simultâneas:
-2 <= x,y <= 2
Essas igualdades de contorno definem as curvas
x,y = 2 e x,y = -2,
que são hipérboles no plano.

Passo 3

Analisando cada hipérbole:
x,y = 2
é uma hipérbole de ramo em x>0,y>0 e em x<0,y<0, com assíntotas nos eixos.
x,y = -2
é uma hipérbole de ramo em x>0,y<0 e em x<0,y>0, também com assíntotas nos eixos.

Passo 4

A região -2<= x,y<=2 é justamente o “entre” essas duas hipérboles. Para cada x>0, o valor de y deve satisfazer
-,2x;<=;y;<=;2x,
e de modo análogo quando x<0. Próximo aos eixos coordenados temos x,yapprox0, que cumpre a desigualdade, portanto a região se estende infinitamente bem próxima aos eixos.

Passo 5

Geometricamente, traçamos as hipérboles x,y=2 e x,y=-2 e sombreiam-se os pontos entre elas. É uma banda infinita de duas “folhas” em cada quadrante, tocando os eixos mas sem ultrapassar as hipérboles.

Resposta

O conjunto pedido é a região no plano limitada pelas hipérboles
x,y = 2 e x,y = -2
e compreende todos os pontos (x,y) tais que
-2 <= x,y <= 2,
isto é, a banda infinita entre essas duas curvas, incluindo-as.

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