Encontre e represente geometricamente o conjunto de todos os pares ordenados
que satisfazem as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de todos os pares
tais que
. O conteúdo é geometria analítica de curvas de nível da função
, e para resolver vamos reescrever a desigualdade de forma a identificar as curvas de contorno.
Passo 2
Reescrevemos a desigualdade
como duas desigualdades simultâneas:
Essas igualdades de contorno definem as curvas
que são hipérboles no plano.
Passo 3
Analisando cada hipérbole:
é uma hipérbole de ramo em
e em
, com assíntotas nos eixos.
é uma hipérbole de ramo em
e em
, também com assíntotas nos eixos.
Passo 4
A região
é justamente o “entre” essas duas hipérboles. Para cada
, o valor de
deve satisfazer
e de modo análogo quando
. Próximo aos eixos coordenados temos
, que cumpre a desigualdade, portanto a região se estende infinitamente bem próxima aos eixos.
Passo 5
Geometricamente, traçamos as hipérboles
e
e sombreiam-se os pontos entre elas. É uma banda infinita de duas “folhas” em cada quadrante, tocando os eixos mas sem ultrapassar as hipérboles.
Resposta
O conjunto pedido é a região no plano limitada pelas hipérboles
e compreende todos os pontos
tais que
isto é, a banda infinita entre essas duas curvas, incluindo-as.