Escrever a regra da cadeia para
h(u, v, w)=f(x(u, v, w), y(u, v), z(w)).

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a regra da cadeia na função
h(u,v,w)=fl(x(u,v,w),,y(u,v),,z(w)r)
Aqui f é uma função de três variáveis l(x,y,zr) e h é a composição de f com as funções x(u,v,w), y(u,v) e z(w). Para resolver, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais: cada derivada de h em relação a uma variável é a soma das derivadas parciais de f multiplicadas pelas derivadas das variáveis intermediárias.

Passo 2

Para partial hpartial u, identificamos as dependências de u: x e y dependem de u, mas z não. Logo,
partial hpartial u =partial fpartial x,partial xpartial u +partial fpartial y,partial ypartial u +partial fpartial z,partial zpartial u
Como z=z(w) não depende de u, temos partial z/partial u=0. Portanto
partial hpartial u =partial fpartial x,partial xpartial u +partial fpartial y,partial ypartial u

Passo 3

Para partial hpartial v, x e y dependem de v, mas z não. Assim,
partial hpartial v =partial fpartial x,partial xpartial v +partial fpartial y,partial ypartial v +partial fpartial z,partial zpartial v
Como partial z/partial v=0, obtemos
partial hpartial v =partial fpartial x,partial xpartial v +partial fpartial y,partial ypartial v

Passo 4

Para partial hpartial w, x e z dependem de w, mas y não. Então
partial hpartial w =partial fpartial x,partial xpartial w +partial fpartial y,partial ypartial w +partial fpartial z,partial zpartial w
Como partial y/partial w=0, vem
partial hpartial w =partial fpartial x,partial xpartial w +partial fpartial z,partial zpartial w

Resposta

partial hpartial u =partial fpartial x,partial xpartial u +partial fpartial y,partial ypartial u,
partial hpartial v =partial fpartial x,partial xpartial v +partial fpartial y,partial ypartial v,
partial hpartial w =partial fpartial x,partial xpartial w +partial fpartial z,partial zpartial w

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