Encontre e represente geometricamente o conjunto de todos os pares ordenados
que satisfazem as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede o conjunto
ou seja, todos os pontos do plano que satisfazem a desigualdade entre valores absolutos. O conteúdo here é resolução de inequações envolvendo valor absoluto e interpretação geométrica de regiões no plano.
Passo 2
Como ambos
e
são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade. Assim
Passo 3
Reescrevendo
Esse produto é não-negativo sempre que
e
têm o mesmo sinal. Isso ocorre em duas situações:
.
e
;
;
e
;
;
.
.
e
;
;
e
;
;
.
Passo 4
Portanto a região é a união de dois “cones” estrelados no eixo
:
- O setor fechado acima (onde
), isto é, entre as retas e na parte superior. - O setor fechado abaixo (onde
), isto é, entre as mesmas retas na parte inferior.
Geométricamente, traçamos as retas
e sombreia-mos os dois ângulos de
em cima e embaixo.
Resposta
isto é, os dois cones fechados formados pelas retas
e
, um no semiplano superior e outro no semiplano inferior.