Encontre e represente geometricamente o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) in R times R que satisfazem as seguintes equações:
|x| <=|y|

Passo 1

O enunciado pede o conjunto
S = (x,y)inR^2 mid |x| <= |y|
ou seja, todos os pontos do plano que satisfazem a desigualdade entre valores absolutos. O conteúdo here é resolução de inequações envolvendo valor absoluto e interpretação geométrica de regiões no plano.

Passo 2

Como ambos |x| e |y| são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade. Assim
|x| <= |y| Long<=ftrightarrow x^2 <= y^2

Passo 3

Reescrevendo
x^2 <= y^2 Long<=ftrightarrow y^2 - x^2 >= 0 Long<=ftrightarrow (y - x)(y + x) >= 0
Esse produto é não-negativo sempre que y - x e y + x têm o mesmo sinal. Isso ocorre em duas situações:
1. y - x >= 0 e y + x >= 0; Longrightarrow; y >= x e y >= -x; Longrightarrow; y >= |x|.
2. y - x <= 0 e y + x <= 0; Longrightarrow; y <= x e y <= -x; Longrightarrow; y <= -|x|.

Passo 4

Portanto a região é a união de dois “cones” estrelados no eixo y:
  • O setor fechado acima (onde y>= |x|), isto é, entre as retas y=x e y=-x na parte superior.
  • O setor fechado abaixo (onde y<= -|x|), isto é, entre as mesmas retas na parte inferior.
Geométricamente, traçamos as retas
y = x e y = -x
e sombreia-mos os dois ângulos de 90^circ em cima e embaixo.

Resposta

S=(x,y)inR^2mid y>= |x|;cup;(x,y)inR^2mid y<= -|x|,
isto é, os dois cones fechados formados pelas retas y=x e y=-x, um no semiplano superior e outro no semiplano inferior.

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