Calcular as derivadas parciais de 1^a ordem das seguintes funções:
p(x, y)=(e^2 x, x y e^3 y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função vetorial
vec p(x,y) = l(p1(x,y),,p2(x,y)r) com
p1(x,y) = e^2x, p2(x,y) = x,y,e^3y
Vamos usar a regra da cadeia para e^2x e a regra do produto para x,y,e^3y.

Passo 2

Para p1(x,y)=e^2x:
  • A derivada em relação a x usa a cadeia: se u=2x, então tfracddxe^u=e^u,u'.
    Logo partial p1partial x = ddxe^2x = e^2xcdot 2 = 2e^2x
  • Em relação a y, p1 não depende de y, então partial p1partial y = 0

Passo 3

Para p2(x,y)=x,y,e^3y, calculamos primeiro a derivada parcial em relação a x. Aqui y é constante e e^3y também:
partial p2partial x = partialpartial xl(xcdot(y,e^3y)r) = 1cdot (y,e^3y) = y,e^3y

Passo 4

Agora a derivada parcial de p2 em relação a y. Trata-se de produto entre x (constante) e y,e^3y:
partial p2partial y = x;ddyl(y,e^3yr)
Usando regra do produto em ycdot e^3y:
ddy(y,e^3y) = 1cdot e^3y + ycdotl(3e^3yr) = e^3y(1+3y)
Logo
partial p2partial y = x,e^3y(1+3y)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem formam a matriz jacobiana
Dvec p(x,y) = partial p1partial x & partial p1partial y partial p2partial x & partial p2partial y = 2e^2x & 0 y,e^3y & x,e^3y(1+3y)

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