Determine, caso existam, os seguintes limites:
é o número de Euler )

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinftyx^ee^x,
onde e é o número de Euler. Como tanto x^e quanto e^x tendem a +infty quando xtoinfty, temos uma indeterminação do tipo infty/infty. Vamos usar a regra de l’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
limxtoinftyx^ee^x =inftyinfty,
logo podemos aplicar l’Hôpital, diferenciando numerador e denominador.

Passo 3

Primeira aplicação de l’Hôpital:
limxtoinftyx^ee^x =limxtoinftyddxl(x^er)ddxl(e^xr) =limxtoinftye,x^,e-1e^x

Passo 4

Segunda aplicação de l’Hôpital:
limxtoinftye,x^,e-1e^x =limxtoinftyddxl(e,x^,e-1r)ddxl(e^xr) =limxtoinftye(e-1),x^,e-2e^x

Passo 5

Terceira aplicação de l’Hôpital:
limxtoinftye(e-1),x^,e-2e^x =limxtoinftyddxl(e(e-1),x^,e-2r)ddxl(e^xr) =limxtoinftye(e-1)(e-2),x^,e-3e^x

Passo 6

Note que e-3approx -0,2817<0, então
limxtoinftyx^,e-3=0
e e^xtoinfty. Logo o quociente tende a 0.

Resposta

0

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