Calcule a derivada de cada função.
y=arccos (b+a cos xa+b cos x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
y = arccos!l(b + acos xa + bcos xr)
ou seja, usar a regra da cadeia para a função composta arccos(u(x)) junto com a regra do quociente para u(x)=(b+acos x)/(a+bcos x).

Passo 2

Definimos
u(x)=b + acos xa + bcos x,
para que
y=arccosl(u(x)r) implies dydx =-u'(x)raiz1 - l(u(x)r)^2

Passo 3

Calculamos u'(x) por regra do quociente. Se
N(x)=b+acos x, D(x)=a+bcos x,
temos
N'(x)=-asin x, D'(x)=-bsin x
e
u'(x) =N',D - N,D'D^2 =l(-asin xr)(a+bcos x)-l(b+acos xr)l(-bsin xr) (a+bcos x)^2 =(b^2 - a^2),sin x(a+bcos x)^2

Passo 4

Precisamos também de
raiz1 - l(u(x)r)^2 =raiz1 - (b+acos x)^2(a+bcos x)^2 =raiz(a+bcos x)^2-(b+acos x)^2(a+bcos x)^2 =raiz(a^2-b^2)sin^2 x(a+bcos x)^2 =raiza^2-b^2,l|sin xr|a+bcos x

Passo 5

Substituindo em
dydx=-u'raiz1-u^2, obtemos
dydx =-(b^2 - a^2)sin x(a+bcos x)^2 raiza^2-b^2,|sin x|a+bcos x =a^2 - b^2a+bcos x,sin xraiza^2-b^2,|sin x| =sgn(sin x),raiza^2-b^2a+bcos x

Resposta

boxed dydx =sgn(sin x),raiza^2 - b^2a + bcos x !,
onde sgn(sin x)=sin x|sin x|.

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