Determine, caso existam, os seguintes limites:
lim x 0^+(1+pi x)^1x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto0^+ (1+pi x)^1x
O conteúdo aqui é o limite do tipo (1+a x)^1/x, que está ligado à definição do número e.

Passo 2

Definimos
L = limxto0^+ (1+pi x)^1x,
e estudamos o logaritmo de L para usar técnicas de limite de forma mais direta.

Passo 3

Temos
ln L = limxto0^+ ln(1+pi x)x
Esse é um caso 0/0, então aplicamos a regra de l’Hôpital: derivando numerador e denominador em x, obtemos
limxto0^+ ddxln(1+pi x)ddxx = limxto0^+ pi/(1+pi x)1 = pi
Logo ln L = pi.

Passo 4

Como ln L = pi, concluímos
L = e^pi

Resposta

limxto0^+(1+pi x)^1x = e^pi

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