Calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função abaixo
f(u, v)=u v-ln (u v).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f(u,v)=u,v - ln(u,v). O conteúdo envolve a regra do produto para u,v e a regra da cadeia para o ln, lembrando que ddxln x=1/x. Também vamos tratar uma variável como constante ao derivar em relação à outra.

Passo 2

Para calcular partial fpartial u, tratamos v como constante. Primeiro,
partialpartial u(u,v)=v
Para a parte -ln(u,v), aplicamos regra da cadeia:
partialpartial uln(u,v)=1u,vcdotpartialpartial u(u,v)=vu,v=1u
Com o sinal negativo,
partialpartial ul(-ln(u,v)r)=-1u
Somando as duas partes,
partial fpartial u=v-1u

Passo 3

Para calcular partial fpartial v, tratamos u como constante. Primeiro,
partialpartial v(u,v)=u
Na parte -ln(u,v), novamente pela regra da cadeia:
partialpartial vln(u,v)=1u,vcdotpartialpartial v(u,v)=uu,v=1v,e com o sinal negativo,
partialpartial vl(-ln(u,v)r)=-1vSomando as duas partes,
partial fpartial v=u-1v

Resposta

partial fpartial u=v-1u, partial fpartial v=u-1v.

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