Calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função abaixo
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Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2} - 1} $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. A função $ z $ é uma raiz quadrada de uma expressão que envolve $ x $, então vamos aplicar a regra da cadeia.
A regra da cadeia diz que se $ z = f(g(x,y)) $, então:
No nosso caso, $ f(u) = \sqrt{u} $ e $ g(x,y) = x^{2} + y^{2} - 1 $.
Primeiro, derivamos $ f(u) $:
Agora, derivamos $ g(x,y) $ em relação a $ x $:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $.
Usando novamente a regra da cadeia:
Derivando $ g(x,y) $ em relação a $ y $:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e