Calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função abaixo
z=x^2 y^2-x y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = x^2y^2 - x y
Isso faz parte de cálculo de derivadas parciais, em que diferenciamos em relação a uma variável mantendo a outra fixa.

Passo 2

Para obter partial zpartial x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do poder e a linearidade da derivada. Derivando cada termo em relação a x:
partial zpartial x = partialpartial x(x^2y^2) - partialpartial x(x y)
No primeiro termo, y^2 é constante: a derivada de x^2 é 2x, logo 2x y^2. No segundo, y é constante: a derivada de x é 1, logo y. Assim:
partial zpartial x = 2x y^2 - y

Passo 3

Para obter partial zpartial y, tratamos x como constante e repetimos o processo. Derivando cada termo em relação a y:
partial zpartial y = partialpartial y(x^2y^2) - partialpartial y(x y)
No primeiro termo, x^2 é constante: a derivada de y^2 é 2y, então 2x^2y. No segundo, x é constante: a derivada de y é 1, resultando em x. Portanto:
partial zpartial y = 2x^2y - x

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são
partial zpartial x = 2x y^2 - y e partial zpartial y = 2x^2y - x.

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