(a) Determine o polinômio de Taylor de ordem dois,
, em torno de
, da função
Sugestão: Ou calcule os coeficientes de Taylor diretamente em
, ou use a série binomial de
com
, depois de escrever
, e use
; use uma calculadora para fazer as contas.
Passo 1
Estamos buscando o polinômio de Taylor de ordem dois de f(x)=
em torno de a=27, ou seja, P₂(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)/2·(x−a)². Vamos precisar de f(a), f′(a) e f″(a).
Passo 2
Calculamos f(27):
Passo 3
Derivamos f(x) e avaliamos em x=27:
Logo,
Passo 4
Derivamos novamente para obter f″(x) e avaliamos em x=27:
Logo,
Passo 5
Substituímos na fórmula de Taylor de ordem 2:
Ficando:
Resposta
P_{2}(x)=3+\frac{x-27}{27}-\frac{(x-27)^{2}}{2187}