(a) Determine o polinômio de Taylor de ordem dois, P2(x), em torno de a=27, da função
f(x)=raiz[3]x
Sugestão: Ou calcule os coeficientes de Taylor diretamente em a=27, ou use a série binomial de (1+x)^alpha com alpha=1 / 3, depois de escrever 28=1+27=27(1+1 / 27), e use x=1 / 27; use uma calculadora para fazer as contas.

Passo 1

Estamos buscando o polinômio de Taylor de ordem dois de f(x)= raiz[3]x em torno de a=27, ou seja, P₂(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f″(a)/2·(x−a)². Vamos precisar de f(a), f′(a) e f″(a).

Passo 2

Calculamos f(27):
f(27)=raiz[3]27=3

Passo 3

Derivamos f(x) e avaliamos em x=27:
f'(x)=13x^-2/3
Logo,
f'(27)=13cdot27^-2/3=13cdot3^-2=127

Passo 4

Derivamos novamente para obter f″(x) e avaliamos em x=27:
f''(x)=ddxl(tfrac13x^-2/3r)=13·l(-tfrac23r)x^-5/3=-29x^-5/3
Logo,
f''(27)=-29cdot27^-5/3=-29cdot3^-5=-22187

Passo 5

Substituímos na fórmula de Taylor de ordem 2:
P2(x)=f(27)+f'(27)(x-27)+f''(27)2(x-27)^2
Ficando:
P2(x)=3+127(x-27)+-2/21872(x-27)^2=3+x-2727-(x-27)^22187

Resposta

P_{2}(x)=3+\frac{x-27}{27}-\frac{(x-27)^{2}}{2187}

Exercícios relacionados