Use as séries de Taylor para calcular os limites (uma maneira de não usar a regra de LHôpital)
lim x 0 1-cos xx^2=12.

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite limxto01-cos xx^2 sem usar a regra de L’Hôpital, mas sim séries de Taylor. Vamos usar a expansão de Taylor de cos x em torno de 0 para isso.

Passo 2

Lembre que a série de Taylor de cos x em torno de 0 até a ordem x^4 é:
cos x = 1 - x^22 + x^424 + o(x^4)
Essa expansão nos mostra como cos x se comporta para valores pequenos de x.
Subtraindo a expressão acima de 1, obtemos:
1 - cos x = x^22 - x^424 + o(x^4)
Aqui isolamos os termos relevantes em potências de x.

Passo 3

Agora dividimos por x^2 e analisamos o limite xto0:
1-cos xx^2 = 12 - x^224 + o(x^2) xrightarrow[xto0] 12

Passo 4

Portanto, o valor do limite é tfrac12.

Resposta

tfrac12

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