Calcule os seguintes limites infinitos:
lim x 0^+ ln (x)x

Passo 1

Estamos calculando o limite limxto0^+ln(x)x. O conteúdo aqui é análise de limites que envolvem logaritmo natural e comportamentos infinitos, e para resolver vamos precisar entender como ln(x) e 1/x se comportam quando x se aproxima de zero pela direita.

Passo 2

Para xto0^+ temos ln(x)to -infty e xto0^+. Portanto a expressão fica de uma ‘‘forma’’ -infty/0^+. Quando dividimos um valor que tende a -infty por um valor que tende a zero positivo, o quociente tende a -infty. Contudo, para deixar isso mais rigoroso, vamos usar uma mudança de variável.

Passo 3

Faça a substituição t=1x. Quando xto0^+, então tto+infty. Observe que
ln(x)=lnl(1/tr)=-ln(t),
e
x=1/t
Substituindo na fração, obtemos
ln(x)x = -ln(t)1/t = -,t,ln(t)

Passo 4

Agora, à medida que tto+infty, temos ln(t)to+infty e tto+infty. O produto tln(t) tende a +infty, e com o sinal negativo isso dá
-,t,ln(t) ;longrightarrow; -infty
Portanto o limite original é -infty.

Resposta

-\infty

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