Calcular as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo
z=e^x^2(x^2+y^2).

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui uma função $ z = e{x{2}}(x^{2} + y^{2}) $ e o objetivo é calcular as derivadas parciais de primeira ordem dessa função em relação a $ x $ e $ y $. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda quando alteramos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante.
A função é $ z = e{x{2}}(x^{2} + y^{2}) $. Temos o produto de duas funções de $ x $: $ e{x{2}} $ e $ (x^{2} + y^{2}) $. Então, vamos usar a regra do produto para derivadas, que diz que $ (fg)’ = f’g + fg’ $.
Primeiro, derivamos $ e{x{2}} $ em relação a $ x $:
z
Depois, derivamos $ x^{2} + y^{2} $ em relação a $ x $:
x
Aplicando a regra do produto:
partial zpartial x
y
z = e^x^2(x^2 + y^2)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ como uma constante.
A função continua sendo $ z = e{x{2}}(x^{2} + y^{2}) $. Novamente, temos um produto, mas dessa vez só precisamos derivar a parte que envolve $ y $.
Derivando $ e{x{2}} $ em relação a $ y $:
z
(Porque $ e{x{2}} $ não depende de $ y $)
Derivando $ x^{2} + y^{2} $ em relação a $ y $:
y
Aplicando a regra do produto:
partial zpartial y
x

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = e{x{2}}(x^{2} + y^{2}) $ são:
z = e^x^2(x^2 + y^2)
e
partial zpartial x = 2x e^x^2 (1 + x^2 + y^2)

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