Use o método dos coeficientes a determinar para indicar uma solução particular para cada uma das equações não homogêneas abaixo.
(Não é necessário calcular as constantes!!!)
a)
.
b)
.
c)
.
(Não é necessário calcular as constantes!!!)
a)
b)
c)
Passo 1
Estamos lidando com equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. O método dos coeficientes a determinar pede que a gente escolha um palpite para a solução particular com o mesmo “formato” do termo forçante, ajustando o grau do polinômio e multiplicando por fatores de x quando houver ressonância com a solução homogênea.
Passo 2
Para a equação (a)
vemos que o termo forçante é da forma polinômio de grau 3 vezes
. A equação homogênea tem raízes
, então não há ressonância com frequência 1. Logo, o palpite é
Passo 3
Para a equação (b)
reconhecemos um forçante da forma polinômio de grau 1 vezes
. Como as raízes homogêneas são
, há ressonância (mesma parte real e mesma frequência). Então multiplicamos o palpite padrão por um fator
. O palpite fica
Passo 4
Para a equação ©
o forçante é simplesmente uma exponencial
com
, que não coincide com as raízes homogêneas. Então o palpite padrão é
Resposta
(a) y_p = (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)\sin x + (Ex^3 + Fx^2 + Gx + H)\cos x
(b) y_p = e{-x}\bigl[(Ax2 + Bx)\cos(2x) + (Cx^2 + Dx)\sin(2x)\bigr]
© y_p = K e^{-2x}