Use o método dos coeficientes a determinar para indicar uma solução particular para cada uma das equações não homogêneas abaixo.
(Não é necessário calcular as constantes!!!)
a) y^prime prime+2 y^prime+5 y=x^3 sen x.
b) y^prime prime+2 y^prime+5 y=x e^-x cos (2 x).
c) y^prime prime+2 y^prime+5 y=e^-2 x.

Passo 1

Estamos lidando com equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes e termos não homogêneos. O método dos coeficientes a determinar pede que a gente escolha um palpite para a solução particular com o mesmo “formato” do termo forçante, ajustando o grau do polinômio e multiplicando por fatores de x quando houver ressonância com a solução homogênea.

Passo 2

Para a equação (a)
y''+2y'+5y = x^3sin x
vemos que o termo forçante é da forma polinômio de grau 3 vezes sin x. A equação homogênea tem raízes -1 pm 2i, então não há ressonância com frequência 1. Logo, o palpite é
yp = (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)sin x + (Ex^3 + Fx^2 + Gx + H)cos x

Passo 3

Para a equação (b)
y''+2y'+5y = x e^-xcos(2x)
reconhecemos um forçante da forma polinômio de grau 1 vezes e^-xcos(2x). Como as raízes homogêneas são -1 pm 2i, há ressonância (mesma parte real e mesma frequência). Então multiplicamos o palpite padrão por um fator x. O palpite fica
yp = e^-xl[(Ax^2 + Bx)cos(2x) + (Cx^2 + Dx)sin(2x)r]

Passo 4

Para a equação ©
y''+2y'+5y = e^-2x
o forçante é simplesmente uma exponencial e^ax com a=-2, que não coincide com as raízes homogêneas. Então o palpite padrão é
yp = K e^-2x

Resposta

(a) y_p = (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)\sin x + (Ex^3 + Fx^2 + Gx + H)\cos x
(b) y_p = e{-x}\bigl[(Ax2 + Bx)\cos(2x) + (Cx^2 + Dx)\sin(2x)\bigr]
© y_p = K e^{-2x}

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