Para quais valores de r, y(x)=e^r x é solução da EDO y^prime prime prime-5 y^prime prime+6 y^prime=0 ?

Passo 1

Estamos lidando com uma EDO linear de coeficientes constantes. Queremos achar quais valores de r fazem com que y(x)=e^r x seja solução da EDO
y'''-5y''+6y'=0
Para isso, vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y(x)=e^r x. Como e^r x é muito bem comportada, temos:
y = e^r x,
y' = r e^r x,
y'' = r^2 e^r x,
y''' = r^3 e^r x

Passo 3

Substituímos essas expressões na EDO:
y''' -5y'' +6y' = 0
Isso resulta em
r^3 e^r x -5r^2 e^r x +6r e^r x = 0
Como e^r x nunca é zero, podemos dividi-lo e chegar ao polinômio característico
r^3 -5r^2 +6r = 0

Passo 4

Resolvemos agora
r^3 -5r^2 +6r = rigl(r^2 -5r +6r) = 0 
Isso dá as raízes:
r = 0 ou r^2 -5r +6 = 0. A equação quadrática fatora como (r-2)(r-3)=0, logo r = 2 ou r = 3.

Resposta

r = 0, 2 e 3

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