Calcular as derivadas pelas regras de derivação.
h1(x)=(x^2+4 x+1) cdot(4 x^3+sen(x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h1(x) = (x^2 + 4x + 1) cdot (4x^3 + sin(x)). Vamos usar as regras de derivada de soma, regra do produto, regra da potência e derivada de sin(x).

Passo 2

Derivando o primeiro fator f(x)=x^2+4x+1 usando regra da soma e da potência:
(x^2)' = 2x, (4x)' = 4 e (1)' = 0. Logo:

Passo 3

f'(x) = 2x + 4

Passo 4

Derivando o segundo fator g(x)=4x^3+sin(x) usando regra da soma:
(4x^3)' = 12x^2 e (sin(x))' = cos(x). Assim:

Passo 5

g'(x) = 12x^2 + cos(x)

Passo 6

Aplicando a regra do produto (fcdot g)' = f'cdot g + fcdot g' e substituindo f, f', g e g', obtemos:

Passo 7

h1'(x) = (2x + 4),(4x^3 + sin(x)) + (x^2 + 4x + 1),(12x^2 + cos(x))

Resposta

(2x + 4)(4x^{3} + \sin(x)) + (x^{2} + 4x + 1)(12x^{2} + \cos(x))

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