Esboce as superfícies de nível Ck da função f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 para k=0,1,4,9. Como você imaginaria o gráfico dessa função?

Passo 1

Estamos com a função f: R^3to R dada por f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. O enunciado pede para esboçar as superfícies de nível Ck definidas por f(x,y,z)=k para k=0,1,4,9. Para isso precisamos usar o conceito de superfície de nível, isto é, o conjunto de pontos em que a função vale um valor fixo.

Passo 2

Em geral, a superfície de nível Ck satisfaz
x^2+y^2+z^2 = k
Essa equação, quando k>0, é a de uma esfera de raio raizk centrada na origem; para k=0 ela degenera no ponto origem.

Passo 3

Para k=0:
C0:;x^2+y^2+z^2=0
Isso só é possível se x=y=z=0, então C0 é o ponto (0,0,0).

Passo 4

Para k=1:
C1:;x^2+y^2+z^2=1
É a esfera de raio 1 centrada na origem.

Passo 5

Para k=4:
C4:;x^2+y^2+z^2=4
É a esfera de raio 2 centrada na origem.

Passo 6

Para k=9:
C9:;x^2+y^2+z^2=9
É a esfera de raio 3 centrada na origem.

Passo 7

Para esboçar, basta desenhar no espaço x,y,z a esfera de raio 1, de raio 2 e de raio 3, todas concêntricas em torno da origem, e marcar o ponto (0,0,0) para k=0.
Se quisermos imaginar o gráfico da função (no espaço de dimensão 4, com eixos x,y,z,f), percebemos que f depende apenas da distância radial r=raizx^2+y^2+z^2. Como f(r)=r^2, o perfil no plano (r,f) é uma parábola. Assim, o gráfico é um paraboloide circular de dimensão três, que cresce quadraticamente à medida que nos afastamos da origem.

Resposta

C0 é o ponto (0,0,0); C1, C4 e C9 são esferas centradas na origem de raios 1, 2 e 3, respectivamente. O gráfico de f em R^4 é um paraboloide circular que cresce com a distância radial, visto que f(r)=r^2.

Exercícios relacionados