Esboce as superfícies de nível
da função
para
. Como você imaginaria o gráfico dessa função?
Passo 1
Estamos com a função f:
dada por
. O enunciado pede para esboçar as superfícies de nível
definidas por
para
. Para isso precisamos usar o conceito de superfície de nível, isto é, o conjunto de pontos em que a função vale um valor fixo.
Passo 2
Em geral, a superfície de nível
satisfaz
Essa equação, quando
Passo 3
Para
:
Isso só é possível se
Passo 4
Para
:
É a esfera de raio
Passo 5
Para
:
É a esfera de raio
Passo 6
Para
:
É a esfera de raio
Passo 7
Para esboçar, basta desenhar no espaço
a esfera de raio 1, de raio 2 e de raio 3, todas concêntricas em torno da origem, e marcar o ponto
para
.
Se quisermos imaginar o gráfico da função (no espaço de dimensão 4, com eixos ), percebemos que
depende apenas da distância radial
. Como
, o perfil no plano
é uma parábola. Assim, o gráfico é um paraboloide circular de dimensão três, que cresce quadraticamente à medida que nos afastamos da origem.
Se quisermos imaginar o gráfico da função (no espaço de dimensão 4, com eixos