Calcular as derivadas pelas regras de derivação.
g2(x)=x cdot arccos (x) cdot e^x

Passo 1

A função é g2(x)=xcdotarccos(x)cdot e^x. O conteúdo aqui é derivação de produto de três fatores e derivada de funções elementares (arccos e exponencial). Vamos usar a regra do produto para três funções e as fórmulas ddx,e^x=e^x e ddx,arccos(x)=-1raiz1-x^2.

Passo 2

Vamos chamar f(x)=x, u(x)=arccos(x) e v(x)=e^x. Suas derivadas são: f'(x)=1, u'(x)=-1raiz1-x^2 e v'(x)=e^x.

Passo 3

Aplicando a regra do produto para três funções, temos:
g2'(x)=f'(x),u(x),v(x)+f(x),u'(x),v(x)+f(x),u(x),v'(x)

Passo 4

Substituindo as derivadas e simplificando cada termo:
g2'(x)=1cdotarccos(x)cdot e^x+xcdotl(-1raiz1-x^2r)cdot e^x+xcdotarccos(x)cdot e^x

Passo 5

Agrupando os termos que têm e^x em comum:
g2'(x)=e^xl(arccos(x)-xraiz1-x^2+x,arccos(x)r)

Passo 6

Fatorando arccos(x) nos termos correspondentes:
$$g_{2}’(x)=e{x}\Bigl((1+x),\arccos(x)-\frac{x}{\sqrt{1-x{2}}}\Bigr).
$$

Resposta

g2'(x)=e^xl((1+x),arccos(x)-xraiz1-x^2r).

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