Se f(x)=(sec x)^1x, mostre que f^prime(x)=(sec x)^1xx^2 cdot[-ln (sec x)+x tg x].

Passo 1

Vamos recapitular: estamos com a função f(x) = (sec x)^1/x. O conteúdo da matéria é derivada de funções com expoente variável, e para resolver vamos usar diferenciação logarítmica, a regra do produto e as derivadas de funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Definimos y = f(x) e aplicamos logaritmo natural para simplificar a diferenciação. Assim temos ln y = lnl((sec x)^1/xr). Usando propriedades de logaritmo, obtemos
ln y = 1x,ln(sec x)

Passo 3

Calculamos a derivada de ln y. Como ddxln y = y'y, vamos derivar o lado direito 1xln(sec x) aplicando a regra do produto. Seja u(x)=1x e v(x)=ln(sec x). Então ddx(u,v) = u',v + u,v'.

Passo 4

Derivamos cada parte: u(x)=1/x implica u'(x)=-1/x^2. Para v(x)=ln(sec x), usamos que ddxsec x = sec xtan x, então
v'(x)=sec xtan xsec x=tan x

Passo 5

Substituindo em ddxl(1xln(sec x)r), temos
$$\frac{y

Passo 6

y} = u’,v + u,v’ = \Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)\ln(\sec x) + \frac{1}{x},\tan x = \frac{-\ln(\sec x) + x\tan x}{x^2}.$$

Passo 7

Por fim, voltamos a y' usando y' = y,y'y. Como y=f(x)=(sec x)^1/x, obtemos
f'(x) = (sec x)^1/x,-ln(sec x) + xtan xx^2,

Passo 8

que é exatamente a expressão pedida.

Resposta

f'(x)=(sec x)^1xx^2l[-ln(sec x)+xtan xr]

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