Se
, mostre que
.
Passo 1
Vamos recapitular: estamos com a função
. O conteúdo da matéria é derivada de funções com expoente variável, e para resolver vamos usar diferenciação logarítmica, a regra do produto e as derivadas de funções trigonométricas básicas.
Passo 2
Definimos
e aplicamos logaritmo natural para simplificar a diferenciação. Assim temos
. Usando propriedades de logaritmo, obtemos
Passo 3
Calculamos a derivada de
. Como
, vamos derivar o lado direito
aplicando a regra do produto. Seja
e
. Então
.
Passo 4
Derivamos cada parte:
implica
. Para
, usamos que
, então
Passo 5
Substituindo em
, temos
$$\frac{y
Passo 6
y} = u’,v + u,v’ = \Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr)\ln(\sec x) + \frac{1}{x},\tan x = \frac{-\ln(\sec x) + x\tan x}{x^2}.$$
Passo 7
Por fim, voltamos a
usando
. Como
, obtemos
Passo 8
que é exatamente a expressão pedida.