Calcule a integral:
integral 6 x+7(x+2)^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 6x+7(x+2)^2,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional via decomposição de fração e uso de fórmulas básicas integral (x+a)^n,dx.

Passo 2

Para simplificar, vamos decompor o numerador em termos de (x+2). Note que:
6x+7 = 6(x+2) - 5
Então o integrando vira:
6x+7(x+2)^2 = 6(x+2)-5(x+2)^2 = 6(x+2)(x+2)^2 - 5(x+2)^2 = 6x+2 - 5(x+2)^2

Passo 3

Agora separamos a integral em duas partes:
integral 6x+2,dx ;- integral 5(x+2)^2,dx
Aplicamos as fórmulas:
  • integral 1x+2,dx = ln|x+2| + C.
  • integral (x+2)^-2,dx = (x+2)^-1-1 = -1x+2 + C.

Passo 4

Multiplicando pelos coeficientes e somando as duas partes, obtemos:
6ln|x+2| - 5l(-1x+2r) + C = 6ln|x+2| + 5x+2 + C

Resposta

6\ln|x+2| + \frac{5}{x+2} + C

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