Calcular as derivadas pelas regras de derivação.
g3(x)=arg senh(x)sen(x) cdot 6^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de uma função que é produto de um quociente envolvendo a seno hiperbólico inverso e a função seno, vezes uma exponencial de base 6. O conteúdo aqui envolve as regras de derivação de produto, quociente e cadeia, além da derivada de funções hiperbólicas inversas e da exponencial.

Passo 2

Definimos duas funções auxiliares: u(x)=arsinh(x)sin(x) e v(x)=6^x, de modo que g3(x)=u(x)v(x). Pela regra do produto teremos:
g3'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Começamos por v(x)=6^x. Sabemos que a derivada de a^x é a^xln(a). Logo:
v'(x)=6^xln(6)

Passo 4

Agora calculamos u'(x) usando a regra do quociente. Seja f(x)=arsinh(x) e h(x)=sin(x). Então
u(x)=f(x)h(x)implies u'(x)=h(x),f'(x)-f(x),h'(x)[h(x)]^2
Precisamos também de f'(x). Como f(x)=arsinh(x), pela regra da cadeia
f'(x)=1raiz1+x^2
E h'(x)=cos(x). Substituindo:
u'(x)=sin(x)cdot1raiz1+x^2 - arsinh(x)cdotcos(x)sin^2(x)

Passo 5

Por fim, juntamos tudo em g3'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Substituindo u'(x), u(x), v(x) e v'(x):
$$g_3’(x)=6x\Biggl(\frac{\sin(x),/\sqrt{1+x2} - \operatorname{arsinh}(x),\cos(x)}{\sin^2(x)}\Biggr)
  • \frac{\operatorname{arsinh}(x)}{\sin(x)},6^x\ln(6).$$

Passo 6

Para deixar mais enxuto, podemos colocar 6^x em evidência e simplificar sin(x)/sin^2(x)=1/sin(x):
g3'(x)=6^xgl(1sin(x)raiz1+x^2 - arsinh(x),cos(x)sin^2(x) + arsinh(x)sin(x)ln(6)gr)

Resposta

g3'(x)=6^xgl(1sin(x)raiz1+x^2-arsinh(x),cos(x)sin^2(x)+arsinh(x)sin(x)ln(6)gr)

Exercícios relacionados