Calcular as derivadas pelas regras de derivação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de uma função que é produto de um quociente envolvendo a seno hiperbólico inverso e a função seno, vezes uma exponencial de base 6. O conteúdo aqui envolve as regras de derivação de produto, quociente e cadeia, além da derivada de funções hiperbólicas inversas e da exponencial.
Passo 2
Definimos duas funções auxiliares:
e
, de modo que
. Pela regra do produto teremos:
Passo 3
Começamos por
. Sabemos que a derivada de
é
. Logo:
Passo 4
Agora calculamos
usando a regra do quociente. Seja
e
. Então
Precisamos também de
E
. Substituindo:
Passo 5
Por fim, juntamos tudo em
. Substituindo
,
,
e
:
$$g_3’(x)=6x\Biggl(\frac{\sin(x),/\sqrt{1+x2} - \operatorname{arsinh}(x),\cos(x)}{\sin^2(x)}\Biggr)
- \frac{\operatorname{arsinh}(x)}{\sin(x)},6^x\ln(6).$$
Passo 6
Para deixar mais enxuto, podemos colocar
em evidência e simplificar
: