Seja C1 a curva dada por r=1+cos (theta).
Calcular a área da região delimitada por C1;

Passo 1

Aqui o objetivo é calcular a área da região delimitada pela curva em coordenadas polares r = 1 + cos(theta). O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula de área polar A = tfrac12integral r^2,dtheta.

Passo 2

A fórmula de área em coordenadas polares diz que, para r = f(theta) variando de theta=a a theta=b, temos
A = 12 integrala^b [f(theta)]^2,dtheta
Aqui a curva é simples e fechada para theta de 0 a 2pi, então
A = 12 integral0^2pi (1 + cos(theta))^2 ,dtheta

Passo 3

Para facilitar a integração, expandimos
(1 + cos(theta))^2 = 1 + 2cos(theta) + cos^2(theta) = 1 + 2cos(theta) + 1 + cos(2theta)2 = 32 + 2cos(theta) + cos(2theta)2

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 a 2pi:
integral0^2pi l(tfrac32 + 2cos(theta) + tfrac12cos(2theta)r),dtheta = tfrac32cdot2pi + 2cdot0 + tfrac12cdot0 = 3pi
Multiplicando por tfrac12 da fórmula de área, chega-se a
A = 12 times 3pi = 3pi2

Resposta

dfrac3pi2

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